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miércoles, 21 de abril 2021
21/04/2021
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Primos y funciones: De la "a" a la "zeta"

La Hipótesis de Riemann, tiene que ver con una función matemática útil que hizo famosa el alemán Leonhard Euler,  llamada modernamente como la función “zeta” (por la letra griega con la que se representa).

 

Una función en matemáticas es una regla que permite convertir un número en otro.  Así por ejemplo, la función “raíz cuadrada”, convierte el número 4 en el número 2, o el número 3 en el número 1.73205080757... (Esté último tiene infinitos números decimales y se conoce también como un número irracional). Geométricamente, una función matemática asocia a todo número en una recta (Lo que llamamos recta numérica) con otro número de la misma recta.

La función zeta que nos interesa aquí, convierte un número cualquiera x en el resultado de la siguiente suma infinita:

1/1x + 1/2x + 1/3x + …

¿Infinita? ¡Sí!  Para obtener el resultado de la función zeta es necesario, por algún medio, realizar la suma de un número infinito de “sumandos”.

¿Qué utilidad puede tener esta función tan extraña? Aunque para la mayoría de nosotros parece ser completamente inútil, juega un papel en el cálculo de muchas propiedades interesantes en física y geometría.

En la arquitectura y en la música, esta función se usa, por ejemplo, en la forma de la denominada “serie armónica”, que no es otra cosa que la misma función zeta calculada cuando x = 1.  

1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …

Vale la pena mencionar que el resultado de calcular la serie armónica (usando todos los términos de la suma) es infinito. ¡Era de esperarse! ¿No? Este resultado general fue probado hace siglos por matemáticos europeos.

Sin embargo, cuando la función zeta se evalúa en x=2, es decir cuando hacemos la suma, el resultado es finito, como lo probaría el mismo Euler, e igual a la sexta parte del cuadrado del número pi. ¿Increíble no?, una suma de infinitos números que da un número finito. ¡Así son las matemáticas!

Una aplicación interesante de este resultado, es que ofrece una manera de conocer el valor del número pi con una precisión arbitraria:

pi2 / 6 = 1+1/4+1/9+...

No mucho después de empezar a “jugar” con la función zeta, Euler demostró otra propiedad curiosa. El valor de la misma función zeta podría calcularse, alternativamente, como un producto infinito de la forma:

1/(1-1/2x) x 1/(1-1/3x) x 1/(1-1/5x) x 1/(1-1/7x) x 1/(1-1/11x) x …

¿Reconoce la secuencia 2, 3, 5, 7, 11 etc.? Se trata nada más y nada menos de la secuencia de los números primos. Es decir, la famosa función zeta tiene por dentro todos los números primos y de allí la importancia que Riemann le dió a esta función.

A diferencia de otros conjuntos de números, por ejemplo, los números pares, los impares y los múltiplos de 7, cuyas propiedades se conocen bien; las propiedades de los números primos son un verdadero misterio. Sabemos muy bien que la separación entre dos impares consecutivos, es siempre constante e igual a 2, o que existe un número infinito de múltiplos de 7. Sin embargo, desconocemos cuál es la separación entre los números primos (parece aleatoria) o cuántos números primos existen.

Antes habíamos mencionado la “hipótesis” de que existía un número infinito de números primos.  Pues bien, la función zeta ofrece una “prueba” de esta hipótesis. Según lo dicho antes la serie armónica se puede escribir de dos maneras distintas:

1/1 + 1/2 + 1/3 + … = 1/(1-1/2) x 1/(1-1/3) x 1/(1-1/5) x …

Los matemáticos han inventado formas ingeniosas de probar de manera general, afirmaciones muy difíciles. Uno de los métodos más conocidos se conoce como “reducción al absurdo”. Este método de demostración parte de suponer la negación de lo que se quiere probar.  

Supongamos que hay un número finito de primos (que es la negación de la hipótesis de que hay un número infinito de ellos). Si existe un número finito de primos, el valor al lado derecho de la igualdad anterior sería un número finito también. Esto implica que, la serie armónica daría un resultado finito. Pero sabemos desde hace siglos que la serie armónica da como resultado infinito. Es decir, existe una contradicción entre nuestra conclusión y un hecho bien conocido.

La única solución a esta aparente paradoja, es admitir que el supuesto original, a saber que el número de primos es finito, es falso.  Pero si el número de primos no es finito sólo puede ser infinito. De este modo la hipótesis queda probada y convertida en un teorema.

 
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