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sábado, 28 de enero 2023
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¿Por qué es tan importante la Hipótesis de Riemann?

Las líneas rosa representan el resultado de aplicar la función zeta a los puntos del plano complejo que están sobre la rejilla azul.  Adaptado de: http://bit.ly/2OS7yTQ.

En su camino por entender los números primos y estudiando esta función en el “plano complejo”, Riemann descubrió que a muchos puntos del plano (Un número infinito de ellos), cuando se les aplicaba la función zeta, se proyectaban en el punto 0 del plano. A esos puntos se les conoce como “ceros de la función zeta”.

¿Dónde exactamente están esos puntos en el plano?

Después de buscar un par de ellos, Riemann descubrió una regularidad geométrica muy curiosa: todos los ceros que encontró de la función zeta, (Es decir los puntos del plano que al aplicarles la función zeta daban cero), estaban alineados sobre una recta vertical. Si el plano fuera una ciudad, los ceros estarían todos ubicados sobre una misma calle o carrera.

¿Es esta regularidad general? o ¿Si buscamos otros ceros, encontraríamos algunos fuera de esa recta? Estas fueron  algunas de las preguntas que se formuló Riemann cuando descubrió este patrón aparente.

Si formulamos la hipótesis de que todos los ceros de la función zeta están alineados en una “calle” del plano complejo, que es justamente la que llamamos la “Hipótesis de Riemann”, las consecuencias matemáticas sobre las propiedades de los números primos, no se hacen esperar.

Una de las más curiosas consecuencias de suponer válida esta hipótesis, ya se mostró al principio de este especial. Los ceros perfectamente alineados de la función zeta, permiten calcular con fórmulas deducidas precisas, originalmente dadas por Riemann y posteriormente por otros matemáticos, el número de primos que hay menores que un cierto entero N.

¿Qué pasa si los ceros de la función no están perfectamente alineados, es decir, si existe al menos un cero que no lo esté?

Las áreas de las matemáticas y de la física que se valen de las propiedades de la función zeta y sus ceros, no dejarían de ser válidas súbitamente. Sin embargo, tendríamos que admitir que todas ellas, incluyendo las fórmulas de Riemann para calcular el número de primos, son sólo aproximaciones que no funcionan en la generalidad de los casos; lo cual, sería un duro golpe para los ideales de matemáticos y físicos por igual.

¿Se puede entonces probar la Hipótesis de Riemann a partir de principios básicos, de modo que podamos estar tranquilos sobre la generalidad de los resultados deducidos a partir de ella? Cientos de matemáticos, algunos de los cuáles están entre los más brillantes de la historia reciente, lo han intentado infructuosamente durante los últimos 150 años.

 

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